Hallo Nelly en Frans,

Hoe zou het op 9 juli 2011, deze gedenkwaardige dag, toch met de Groel zijn? Zou hij intussen wat bekomen zijn van de gevolgen van de afstraffing die hij een tijdje geleden van onze reuzen Lammert en Eimert heeft gekregen? Ik zal in mijn glazen bol toch maar eens op zoek naar hem gaan, want het blijft een wezen dat ik in verband met jullie tocht toch een beetje in de gaten wil blijven houden. Ik zoek de Krang af, maar dat levert niet veel op, eigelijk helemaal niets. Hij is dus weer hersteld en zal wel weer op pad zijn. Als hij maar niet Spanje in het vizier heeft; ik ga toch maar verder zoeken! Ik tik op het toetsenbordje van de glazen bol ’de Groel’ in en jawel hoor, na een poosje komt hij in beeld. Maar wat ziet hij er keurig uit! Voor het eerst van mijn leven zie ik hem geschoren en gewassen! Het is nu geen monsterlijk wezen, maar een echt heertje, keurig in een streepjespak gestoken, met een zwarte bolhoed op zijn kop en een paraplu in zijn linkerhand! Zo ken ik de Groel niet! Het lijkt wel een Engelse gentleman!! Dit klopt niet; hier moet iets bijzonders aan de hand zijn. Ik ga hem toch maar eens volgen. Waar bevindt hij zich? Zo te zien in de vertrekhal van een vliegveld; volgens mij is hij op Schiphol!! Hij gaat inchecken en zet een groot zwart koffer op de bagageband. Nu word ik helemaal nieuwsgierig! Hij gaat aan boord van een DC-8 van de Chinese luchtvaartmaatschappij: China Air. De Groel uit de Krang met China Air naar Peking!! Zo gek heb ik het nog nooit meegemaakt!
De volgende dag zie ik hem in China, in Shanghai. Hij gaat een groot fabriekscomplex binnen en voert daar met een paar Chinezen een lang gesprek. Hij wordt vervolgens in het complex rondgeleid en blijft tenslotte alleen achter in een soort laboratorium. Daar trekt hij een witte jas aan en gaat aan het werk. Wat doet hij? Hij zit wat te experimenteren, lijkt het, met stoffen die ik zo gauw niet herken. Na een hele tijd ruikt hij aan een goedje dat hij bereid heeft, maar hij schijnt niet helemaal tevreden te zijn. Hij roept een paar medewerkers en die moeten nu ook ruiken. Ook zij zijn, zo te zien, niet helemaal content, waarop de Groel ze wegstuurt en verder gaat experimenteren.
Ik zoem nu helemaal in op mijn bol en zie dat hij een doos uit zijn koffer haalt waarop staat: chemisch wierookextract. Nu wordt me stilaan duidelijk wat zich hier voordoet. De Groel lijkt de Chinezen een nieuw procédé voor het maken van synthetische wierook voor te stellen, waar hij blijkbaar nog de laatste hand aan moet leggen.
Na enkele uren springt de Groel op en hij juicht, zoals alleen maar de Groel kan juichen! Hij maakt op zijn korte, kromme poten een rondedansje van blijdschap en roept wat in de intercom. Even later komen er sjieke Chinezen naar hem toe en ik zie dat ze hem feliciteren. Waarmee dan toch? Wat heeft hij voor ze gemaakt? De Groel legt ze blijkbaar iets uit en vraagt ze nu dichtbij te komen, zodat ze getuigen kunnen zijn van zijn geslaagd experiment. Hij steekt de stof die hij bereid heeft met een lucifertje aan en…. plof, een steekvlam en allen deinzen ontzet terug. De hele ruimte is in een mum van tijd met zwarte pekelstof en rookwolken gevuld. De Chinezen vluchten de ruimte uit om buiten op adem te komen. De Groel ligt zwaargewond en met gescheurde kleren en een zwartgeblakerde kop op de vloer van het lab. Het is geen gezicht! Totaal ontredderd is hij, maar hij probeert op te staan. Wat een deceptie! De Chinezen die hem op hun kosten naar Peking hadden laten komen omdat hij – naar zijn eigen zeggen – een superwierook zou kunnen produceren, die alle andere wierooksoorten weg zou concurreren, zijn woedend. Ze sturen hem direct de laan uit! Strompelend en zwaar hijgend maakt hij zich uit de voeten!
Een paar dagen later lees ik in de krant, The Chinese Daily News, dat de Groel China is uitgegooid en er bovendien tot ‘persona non grata’ is verklaard. Hij mag nooit meer China binnenkomen!
Nu zie ik de Groel weer in de Krang; zijn kop nog altijd zwartgeblakerd! Hoe hij daar is gekomen, weet ik niet, maar Frans en Nelly, geen zorgen, hij is er zo beroerd aan toe dat hij weer voor lange tijd is uitgeschakeld. Het is toch een dom wezen; hoe vaak is hem nu al zo iets overkomen? Misschien maar goed dat het zo’n dom wezen is; als hij de komende tijd in Spanje weer iets doms gaat ondernemen, kunnen we hem misschien ook daar tot ‘persona non grata’ laten verklaren. Dan zijn jullie de resterende tijd van jullie tocht in elk geval van hem af!
Overigens was jij, Frans, op 9 juli 2006, die gedenkwaardige dag, jarig (Siena); ik ga ervan uit dat je vandaag dus ook jarig bent!! Proficiat, 65 !! Nu pas echt met pensioen!! Geniet ervan! Nelly ook!
Loop echter als kwieke jongeling, samen met Nelly, verder en snuif in elk kapelletje en kerkje onversneden natuurzuivere wierook op! Vandaag wordt die ter ere van jou verbrand!
Groetjes en ook geluk gewenst van Anjes,
en van Molan!
Thuur

Hallo Frans en Nelly,

Het feit dat Frans vanaf vandaag 34% korting krijgt als hij reist met het Nederlandse stads- of streekvervoer, geeft mij het excuus wat kabbalistiek te bedrijven met het getal 65. Laat ik beginnen met een paar opmerkelijke eigenschappen van 65. Daarna een bonus: 65 variaties op het getal 65.

Opmerkelijke eigenschappen.
I. Draai de cijfers van 65 om; dat levert het getal 56 op.
Tel 56 op bij 65, dan krijg je 121, een kwadraat (11 x 11). Trek nu 56 af van 65, met als resultaat 9, weer een kwadraat (3 x 3). Het bijzondere van 65 is dat dit het kleinste gehele getal is met deze eigenschap.

II. 65 = 1 + 16 +27 + 16 + 5.
Dat lijkt niets bijzonders, maar het bijzondere is dat:
1 gelijk is aan 1 tot de macht 5,
16 gelijk is aan 2 tot de macht 4,
27 gelijk is aan 3 tot de macht 3,
16 gelijk is aan 4 tot de macht 2, en
5 gelijk is aan 5 tot de macht 1.
Samengevat: 65 = 1^5 + 2^4 + 3^3 + 4^2 + 5^1 (het teken “^” betekent “tot de macht”).

III. 65 is het kleinste getal dat op 2 manieren kan worden geschreven als som van de kwadraten van 2 (positieve gehele) getallen, namelijk: 65 = 1²+8² = 4²+7² (of 65 = 1^2+8^2 = 4^2+7^2)

IV. Een magisch vierkant met de getallen 1 t/m 25 heeft 65 als karakteristiek getal (de magische constante). N.B.: in een magisch vierkant is de som van de getallen in alle rijen, kolommen en diagonalen constant. In dit geval is de som dus 65.

V. Jullie kennen vast de stelling van Pythagoras nog: in een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechte zijden. 3 gehele getallen a, b, c, waarvoor geldt a ² + b ² = c ², heten daarom een Pythagoreïsch drietal. Het bekendste drietal is 3, 4 en 5 (3² + 4² = 5²). Een ander voorbeeld is 5, 12 en 13 (5² + 12² = 13²).

Als je eenmaal zo’n drietal hebt, heb je er meteen oneindig veel. Want elk van de getallen van het drietal kun je vermenigvuldigen met een willekeurig (geheel) getal. Die vermenigvuldigde getallen geven ook een Pythagoreïsch drietal.
Voorbeeld: vermenigvuldig (3, 4, 5) met 2, dan krijg je (6, 8, 10). En er geldt 6² + 8² = 10². Vermenigvuldig (3, 4, 5) met 3, dan geeft dat (9, 12, 15). En weer geldt 9² + 12² = 15².

De drietallen (6, 8, 10) en (9, 12, 15) kun je afgeleide drietallen noemen. Ze zijn afgeleid van het “elementaire” drietal (3, 4, 5). Zo’n elementair drietal wordt gewoonlijk een primitief Pythagoreïsch drietal genoemd, of een priemdrietal. Het kenmerk van een primitief drietal is dat de 3 getallen een ggd (grootste gemene deler) van 1 hebben.

Dit aanloopje is nodig voor de volgende unieke eigenschap van 65: 65 is het kleinste gehele getal, dat het grootse getal is van twee verschillende primitieve Pythagoreïsche drietallen. Die 2 primitieve drietallen zijn: (16, 63, 65) en (33, 56, 65). Terzijde: 85 is het één na kleinste getal met deze eigenschap. De 2 drietallen zijn: (13, 84, 85) en (36, 77, 85). Handig te weten als je 85 wordt.
Tot zover een paar bijzondere eigenschappen.

D E B O N U S, ook met een korte inleiding.
Voor 65 geldt: 65 = 32 + 33. Waar het hier om gaat is dat 65 is te schrijven als som van 2 opeenvolgende getallen, namelijk 32 en 33. Terzijde: daarom geldt ook dat 65 = 33² - 32². Dit is allemaal nogal triviaal voor een oneven getal als 65. Want elk oneven getal groter dan 1, kan geschreven worden als som van 2 opeenvolgende getallen. Zo geldt voor 59: 59 = 29 + 30 (daarom geldt ook 59 = 30² - 29²). Maar minder triviaal is dat 65 ook geschreven kan worden als de som van allerlei andere reeksen opeenvolgende gehele getallen, gedeeld door een bepaald (geheel) getal. En daar gaat de verjaardagsbonus om: hieronder 65 van die reeksen, die als som gedeeld door een getal steeds 65 geven. Vaak zie je “+…+”. Dat betekent dat je gewoon moet doortellen.
Ter illustratie: reeks 3 is als volgt geschreven: (4+5+6+7+8+…12+13+14+15+16)/2.
Dat betekent (4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)/2.

Overigens kan dit aantal van 65 willekeurig worden uitgebreid, want er zijn oneindig veel van deze reeksen. En dat geldt niet alleen voor 65. Stel bijvoorbeeld dat je 969 jaar zou worden, net als Methusalach, beter bekend als Methusalem (zie Genesis 5:27: “Zo waren al de dagen van Methusalach negenhonderd negen en zestig jaren; en hij stierf.”). Dan is het een koud kunstje om 969 op 969 verschillende manieren te schrijven als som van opeenvolgende getallen. Maar dat zien we nog wel als je te zijner tijd je 969ste verjaardag viert. Nu gaat om 65.

1) 65 = (2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)
2) 65 = (11+12+13+14+15)
3) 65 = (4+5+6+7+8+…+12+13+14+15+16)/2
4) 65 = (24+25+26+27+28)/2
5) 65 = (31+32+33+34)/2
6) 65 = (6+7+8+9+10+…+16+17+18+19+20)/3
7) 65 = (9+10+11+12+13+…+17+18+19+20+21)/3
8) 65 = (15+16+17+18+19+20+21+22+23+24)/3
9) 65 = (30+31+32+33+34+35)/3
10) 65 = (37+38+39+40+41)/3
11) 65 = (14+15+16+17+18+…+22+23+24+25+26)/4
12) 65 = (29+30+31+32+33+34+35+36)4
13) 65 = (50+51+52+53+54)/4
14) 65 = (1+2+3+4+5+…+21+22+23+24+25)/5
15) 65 = (19+20+21+22+23+…+27+28+29+30+31)/5
16) 65 = (28+29+30+31+32+33+34+35+36+37)/5
17) 65 = (10+11+12+13+14+…+26+27+28+29)/6
18) 65 = (19+20+21+22+23+…+29+30+31+32+33)/6
19) 65 = (24+25+26+27+28+…+32+33+34+35+36)/6
20) 65 = (27+28+29+30+31+…+34+35+36+37+38)/6
21) 65 = (5+6+7+8+9+…+26+27+28+29+30)/7
22) 65 = (26+27+28+29+30+…+35+36+37+38+39)/7
23) 65 = (29+30+31+32+33+…+37+38+39+40+41)/7
24) 65 = (41+42+43+44+45+46+47+48+49+50)/7
25) 65 = (25+26+27+28+29+…+36+37+38+39+40)/8
26) 65 = (34+35+36+37+38+…+42+43+44+45+46)8
27) 65 = (5+6+7+8+9+…+30+31+32+33+34)/9
28) 65 = (10+11+12+13+14+…+31+32+33+34+35)/9
29) 65 = (24+25+26+27+28+…+37+38+39+40+41)/9
30) 65 = (32+33+34+35+36+…+42+43+44+45+46)/9
31) 65 = (39+40+41+42+43+…+47+48+49+50+51)/9
32) 65 = (14+15+16+17+18+…+34+35+36+37+38)/10
33) 65 = (23+24+25+26+27+…+38+39+40+41+42)/10
34) 65 = (44+45+46+47+48+…+52+53+54+55+56)/10
35) 65 = (15+16+17+18+19+…+36+37+38+39+40)/11
36) 65 = (22+23+24+25+26+…+39+40+41+42+43)/11
37) 65 = (1+2+3+4+5+…+35+36+37+38+39)/12
38) 65 = (45+46+47+48+49+…+55+56+57+58+59)/12
39) 65 = (20+21+22+23+24+…+41+42+43+44+45)/13
40) 65 = (9+10+11+12+13+…+39+40+41+42+43)/14
41) 65 = (19+20+21+22+23+…+42+43+44+45+46)/14
42) 65 = (36+37+38+39+40+…+51+52+53+54+55)/14
43) 65 = (6+7+8+9+10+…+41+42+43+44)/15
44) 65 = (18+19+20+21+22+…+43+44+45+46+47)/15
45) 65 = (25+26+27+28+29+…+46+47+48+49+50)/15
46) 65 = (27+28+29+30+31+…+47+48+49+50+51)/15
47) 65 = (17+18+19+20+21+…+44+45+46+47+48)/16
48) 65 = (16+17+18+19+20+…+45+46+47+48+49)/17
49) 65 = (30+31+32+33+34+35+…+51+52+53+54+55)/17
50) 65 = (4+5+6+7+8+…+44+45+46+47+48)/18
51) 65 = (11+12+13+14+15+…+45+46+47+48+49)/18
52) 65 = (15+16+17+18+19+…+46+47+48+49+50)/18
53) 65 = (14+15+16+17+18+…+47+48+49+50+51)/19
54) 65 = (13+14+15+16+17+…+48+49+50+51+52)/20
55) 65 = (12+13+14+15+16+…+49+50+51+52+53)/21
56) 65 = (16+17+18+19+20+…+50+51+52+53+54)/21
57) 65 = (22+23+24+25+26+…+52+53+54+55+56)/21
58) 65 = (2+3+4+5+6+…+49+50+51+52+53)/22
59) 65 = (11+12+13+14+15+…+50+51+52+53+54)/22
60) 65 = (10+11+12+13+14+…+51+52+53+54+55)/23
61) 65 = (9+10+11+12+13+…+52+53+54+55+56)/24
62) 65 = (21+22+23+24+25+…+55+56+57+58+59)/24
63) 65 = (8+9+10+11+12+…+53+54+55+56+57)/25
64) 65 = (7+8+9+10+11+…+54+55+56+57+58)/26
65) 65 = (6+7+8+9+10+11+…+55+56+57+58+59)/27

Groet en natuurlijk felicitaties van
Dan

Frans van harte gefeliciteerd met je verjaardag.
"Je trekt nu van Drees" wat wil je nog meer.
Ik heb veel respect voor jullie maar ben ook gezond jaloers. Vooral omdat jullie dit samen kunnen beleven.
Geniet ervan.
Dikken knuffel van Anny

Frans,Nog gefeliciteerd met je 65ste verjaardag! Hoe voelt het om al 1dag 65 te zijn ? Jullie gaan als een trein maar.....jullie doen dit toch niet per trein!!!!Lijkt wel dat er stukjes per trein wordt afgelegd.(jou eigen woorden)
Laat het wel een stoptrein zijn,zodat je van de omgeving kunt genieten!!!!! Geniet nog van alles samen met onze zus. en......alles komt goed.
Mia en tuurlijk ........Wiel.

Hoi Nelly en Frans,
Frans, ik ben een dag te laat, maar nog van harte gefeliciteerd met het behalen van de pensioengerechtigde leeftijd !! Met jouw toenemende conditie moet jij fluitend de 100 halen !!!!

Ik wens jullie nog veel plezier en sterkte met de "laatste loodjes".
Geniet van alles om je heen, van de heerlijke tapas en Spaanse wijnen en vooral van elkaar.

Jeanette